Benvenuti al paragrafo dedicato al calcolo dei limiti delle funzioni con l’algebra dei limiti e la risoluzione delle forme indeterminate! In queste lezioni vedremo come calcolare i limiti di funzioni in un punto e all’infinto grazie all’algebra dei limiti e come risolvere le forme indeterminate.

Il calcolo dei limiti di una funzione reale di variabile reale y=f(x) permette di capire come si comporta la funzione nell’intorno di un punto x_0 nel quale la funzione non è definita, oppure all’infinito. Il passaggio al limite è un’operazione quindi necessaria all’interno dello studio di funzione perchè grazie al calcolo dei limiti in un punto e all’infinito è possibile determinare gli asintoti di una funzione e quindi capire il comportamento della funzione e quindi tracciare il suo grafico.

Per calcolare i limiti di funzioni non si fa ricorso alla definizione di limite, tuttavia necessaria nella teoria e per effettuare la verifica di un limite, ma si utilizzano le regole per il calcolo dei limiti, introduciamo quindi l’algebra dei limiti.

Algebra dei limiti 

Il seguente teorema dell’algebra dei limiti ci fornisce le regole per il calcolo dei limiti tra funzioni quando la variabile indipendente tende ad un punto x_0 e all’infinito.

Teorema: Siano f(x) e g(x) due funzioni reali di variabile reale, definite in un intorno di x_0, eccetto al più x_0 stesso, x_0 punto di accumulazione e vale \lim_{x \to x_0} f(x)=l e \lim_{x \to x_0}g(x)=m allora valgono le seguenti:

1) il limite della somma o differenza tra due funzioni è data dalla somma o differenza dei rispettivi limiti \lim_{x \to x_0} [f(x)\pm g(x)]=l\pm m

2) il limite del prodotto di due funzioni è dato dal prodotto dei rispettivi limiti \lim_{x \to x_0} k \cdot f(x)=k \cdot l, k costante \ \in \mathbb{R}

3) il limite del rapporto tra due funzioni è dato dal rapporto dei limiti delle funzioni \lim_{x \to x_0}\frac{ f(x)}{g(x)}=\frac{l}{m}

4) Corollario: il limite della potenza di una funzione è la potenza del limite della funzione \lim_{x \to x_0} f(x)^k=l^k

Nell’algebra dei limiti come abbiamo visto, quando la variabile indipendente tende ad un valore finito x_0 questo si sostituisce direttamente all’interno delle funzioni e si procede al calcolo. Tuttavia dobbiamo sempre ricordare che l’operazione di limite significa che la funzione non sta propriamente assumendo il valore x_0 nel caso in cui x_0 non faccia parte del suo dominio, ma la variabile indipendente si sta avvicinando sempre di più a quel valore e lo può fare o da destra o da sinistra, quindi diremo che tende al valore x_0.

Osserviamo che tale teorema vale anche nel caso in cui la variabile indipendente tende all’infinito. Anche qui osserviamo che infinito non è un numero, quindi calcolare il limite di una funzione all’infinito significa che la variabile indipendente sta assumento valori sempre più piccoli x \to -\infty[latex] o valori sempre più grandi [latex]x \to +\infty, quindi calcolare un limite all'infinito significa capire a quale valore si avvicinerà sempre di più la funzione sapendo a quale valore sta tendendo la x. Quindi per calcolare i limiti all'infinito bisogna conoscere il grafico delle funzioni elementari ed il loro dominio.

Forme indeterminate

Svolgendo il calcolo di un limite attraverso l'albebra dei limiti, può succedere che il risultato del limite si presenti in una forma tra le seguenti: \frac{\infty}{\infty}; \frac{0}{0}; \infty \cdot 0; \infty - \infty;  \infty^0;  0^0;  1^{\infty} Questi possibili risultati sono quelle che chiamiamo forme indeterminate, il cui risultato non è immediato. Infatti ogni volta che calcolando un limite attraverso l'algebra dei limiti otteniamo una forma indeterminata, non potremmo subito determinare il risultato del limite, ma dovremmo analizzare con molta attenzione il comportamento delle funzioni e dovremmo fare opportuni passaggi di calcolo per eliminare la forma indeterminata. Quindi per eliminare una forma indeterminata e quindi calcolare il risultato del limite, non sarà sufficiente utilizzare l'algebra dei limiti ma dovremo adottare altre strategie di calcolo, quali ad esempio:

• calcolo algebrico (raccoglimento totale, razionalizzazione, scomposizioni)
• teorema del confronto 
• utilizzo dei limiti notevoli (li vedremo in un altro paragrafo dedicato)
• teoremi di De L'Hopital (li vedremo in un altro paragrafo dedicato il cui prerequisito è la conoscenza delle derivate)
• utilizzo dello sviluppo in serie di Taylor (li vedremo in un altro paragrafo dedicato)

Per eliminare una forma indeterminata non c'è una regola standard, la strategia da individuare dipenderà di volta in volta da come sono fatte le funzioni f(x) e g(x) e dalla specifica forma indeterminata che è risultata dal calcolo del limite, quindi l'unica tecnica per risolvere una forma indeterminata è fare tanti esercizi per acquisire esperienza ed avere quindi l'idea di risoluzione a colpo d'occhio.

Buon lavoro!

prof. Barbara