Asintoti di funzione: come determinare gli asintoti verticali, asintoti orizzontali e asintoti obliqui di una funzione

Benvenuti ragazzi al paragrafo dedicato a come determinare gli asintoti di una funzione! In queste videolezioni vedrete le definizione e come determinare l’equazione di asintoto verticale, asintoto orizzontale ed asintoto obliquo!

Asintoto verticale

Sia f(x) una funzione definita in un dominio D \subset \mathbb{R} , con eccezione nel punto x_0. Diciamo che f(x) ha un asintoto verticale in x_0 se

\lim_{x \to x_0^{\pm}}f(x)=\infty.

L’equazione dell’asintoto verticale è la retta di equazione x=x_0.

Attenzione: La funzione f(x) non potrà mai attraversare e quindi toccare l’asintoto verticale, infatti la funzione non essendo definita in x_0 vuole dire che per quel punto non esiste la sua immagine. Inoltre dovremmo calcolare il limite in x_0 sia da destra che da sinistra, infatti la funzione potrebbe seguire l’asintoto verticale sia da destra sia da sinitra, oppure sola da destra o solo da sinistra.

Per vedere un’applicazione degli asintoti verticali in uno studio di funzione completo, vedi il paragrafo sullo studio di funzione trascendente con logaritmo ed il paragrafo sullo studio di funzione irrazionale.

Asintoto orizzontale 

Sia f(x) una funzione, diciamo che questa ha un asintoto orizzontale se

\lim_{x \to \infty}f(x)=l.

L’equazione dell’asintoto orizzontale è la retta di equazione y=l.

Notiamo che la funzione potrebbe seguire un asintoto orizzontale solo a sinistra o solo a destra o da entrambe le parti, dunque dovremmo calcolare due limiti:

\lim_{x \to -\infty}f(x) e \lim_{x \to {-\infty}}f(x).

Osservate che la funzione segue l’asintoto orizzontale all’infinito, quindi prima potrebbe anche attraversarlo, un esempio è la funzione y=\frac{2x}{e^x}. Per capire se una funzione attraversa o meno un asintoto orizzontale bisogna determinare la sua derivata prima e seconda. Oppure la funzione può seguire l’asintoto orizzontale attraversandolo infinite volte come ad esempio si può osservare dal grafico della funzione y=\frac{\sin x}{x}.

Asintoto obliquo 

Sia f(x) una funzione tale che \lim_{x \to \infty}f(x)=\infty (condizione necessaria ma non sufficiente ), diciamo che f(x) ha un asintoto obliquo se e soltanto se sono finiti i limiti:

\lim {x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x}=m

\lim_{x \to \pm \infty}f(x)-mx=q

allora la funzione segue un asintoto obliquo di equazione y=mx+q.

Notiamo che anche in questo caso dovremmo calcolare sia per +\infty che per -\infty i due limiti, infatti una funzione potrebbe ammettere due asintoti obliqui oppure solo uno a sinistra o solo uno a destra.

Per vedere un’applicazione degli asintoti obliqui in uno studio di funzione completo, vedi il paragrafo sullo studio di funzione goniometrica.

Buon lavoro !

prof. Barbara

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