Disequazioni prodotto: come risolvere le disequazioni di ordine superiore, disequazioni prodotto.

Benvenuti ragazzi al paragrafo sulle disequazioni prodotto! In questa lezione vediamo come risolvere le disequazioni prodotto e le disequazioni di ordine superiore grazie proprio alle disequazioni prodotto. I prerequisiti per affrontare questo argomento sono saper risolvere equazioni e disequazioni di primo grado ed equazioni e disequazioni di secondo grado. 

Disequazioni prodotto

Distinguiamo due casi: il primo in cui abbiamo un polinomio già scomposto nel prodotto dei suoi fattori, ed un secondo caso in cui abbiamo un polinomio di ordine superiore che non è fattorizzato. 

Caso 1)

Risolvere una disequazione prodottoA_1(x)\cdot A_2(x) \cdot A_3(x)\cdot...\cdot A_n(x)\lesseqgtr 0 significa determinare per quali valori della incognita x \in \mathbb{R} il prodotto dei fattori risulta >0, \geq 0, <0, \leq 0, dove i fattori A_1(x),...,A_n(x) sono polinomi di primo o secondo grado. 

Data la disequazione A_1(x)\cdot A_2(x) \cdot A_3(x)\cdot...\cdot A_n(x)\lesseqgtr 0 questa si risolve studiando ogni fattore della disequazione positivo e poi eseguendo lo schema dello studio del segno: ovvero dovremo imporre

A_1(x) >0 (oppure \geq 0 se nel testo compare il segno di \geq o \leq 0 )

…

poi si esegue lo studio del segno tra le soluzioni ottenute. Ricordate che nello studio del segno si devono avere tanti livelli quanti sono i fattori, quindi per n fattori n livelli, dove in ogni livello si rappresenta la soluzione di quel singolo fattore.

Infine fatto lo studio del segno prenderemo la soluzione positiva + se nel testo dell’esercizio viene chiesto >0oppure \geq 0, viceversa prenderemo la soluzione negativa - se nel testo dell’esercizio viene chiesto <0 oppure \geq 0. 

Caso 2) 

Nel caso in cui dobbiamo risolvere una disequazioni di grado superiore al secondo e questo non sia già scomposto in fattori, non dovremo far altro che scomporre il polinomio nel prodotto dei suoi fattori ad esempio utilizzando la regola di Ruffini. Infatti bisogna ricordare che per il teorema fondamentale dell’algebra, nell’insieme dei numeri Reali, i polinomi irriducibili sono solamente i polinomi di primo grado e di secondo grado con \Delta<0. Una volta scritta la fattorizzazione del polinomio procederemo come al punto 1). 

Infine c’è da osservare che la regola del prodotto di disequazioni è sempre valida qualsiasi siano le funzioni, quindi non solo nel caso di polinomi, perciò bisognerà sempre studiare ogni fattore positivo e infine eseguire lo studio del segno. 

Buono studio!