Equazioni di secondo grado: come risolvere le equazioni di secondo grado intere (complete, spurie e pure) e le equazioni di secondo grado fratte

Benvenuti in questo paragrafo dove vedremo come risolvere le equazioni di secondo grado intere (complete, pure e spurie) e le equazioni di secondo grado fratte.
In questo paragrafo vedremo come risolvere le equazioni di secondo grado intere e fratte, questo è un argomento fondamentale per risolvere problemi di matematica, fisica e sono richieste anche nei test di ammissione all’università.
Un’equazione si dice di secondo grado se l’incognita x compare con potenza seconda, gli altri termini sono di grado inferiore quindi primo grado e termine noto. 
Risolvere un’equazione di secondo grado, significa determinare i valori di x che se sostituiti al posto dell’incognita, soddisfano l’uguaglianza. In questo caso diciamo che x è soluzione o radice dell’equazione di secondo grado. 

Equazioni di secondo grado intere 

Un’equazione di secondo grado si dice Intera se in forma normale risulta del tipo ax^2+bx+c=0, dove a,b e c sono coefficienti reali, a non nullo ed x rappresenta l’incognita da determinare. Per risolvere un’equazione di secondo grado usiamo differenti tecniche a seconda che l’equazione sia:

• Completa: un’equazione di secondo grado è completa se compare il termine in x al secondo grado, un termine di primo grado ed il termine noto. In questo caso per determinare le soluzioni si utilizza la formula risolutiva del Delta o discriminante: x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
• Spuria: un’equazione di secondo grado si dice spuria  c=0, quindi se è del tipo ax^2+bx=0. In questo caso per determinare le soluzioni basterà applicare il raccoglimento totale di x qindi si ottiene x(ax+b)=0 le cui soluzioni saranno quindi x_1=0 e x=-\frac{b}{a} .
• Pura: un’equazione di secondo grado è pura se b=0, quindi se è della forma ax^2+c=0 . In questo caso per risolvere l’equazione si dovrà estrarre la radice quadrata ambo i membri dell’equazione: x_{1,2}=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}. Un’equazione pura è determinata quindi solo se i coefficienti a e c sono discordi. 

Osserviamo che un’equazione di secondo grado ammette al massimo due radici reali, questo significa che un’equazione può avere al massimo due soluzioni distinte, oppure avere una sola soluzione detta anche soluzione doppia o infine nessuna soluzione e quindi l’equazione risulta impossibile.  Il numero di soluzioni di un’equazione di secondo grado è data dal Delta o Discriminante dove \Delta=b^2-4ac e si distinguono i seguenti casi:

• L’equazione di secondo grado ha due radici reali distinte se \Delta >0
• L’equazione di secondo grado ha una soluzione reale oppure soluzione doppia se \Delta =0
• L’equazione non ha soluzioni reali se \Delta<0.

Per risolvere un’equazione di secondo grado intera si deve:

1) Calcolare il Delta \Delta

2) Classificare l’equazione di secondo grado in completa , spuria o pura

3) Determinare la soluzione con il metodo opportuno descritto prima 

Equazioni di secondo grado fratte 

Un’equazione di secondo grado si dice fratta se compare la x al denominatore di almeno una delle frazioni che compone l’equazione \frac{N(x)}{D(x)}=0 Nelle equazioni fratte un passaggio determinante nella loro risoluzione è il calcolo della condizione di esistenza, ovvero dobbiamo quindi escludere quei valori di x che annullano il denominatore, rendendo tutta l’equazione priva di significato. A tale scopo dobbiamo imporre D(x) \neq 0. Nelle equazioni di secondo grado fratte dovremmo inoltre eseguire la verifica della soluzione, infatti una volta determinare le soluzioni dell’equazione, dovremmo verificare se le soluzioni trovate possono essere accettate oppure no. Infatti qualora trovassimo come soluzione un valore di x che abbiamo precedentemente escluso attraverso la condizione di esistenza, quella soluzione non sarà accettabile e pertanto verrà esclusa dall’insieme delle soluzioni trovate. 

Per risolvere un’equazione di secondo grado fratta bisogna eseguire i seguenti passaggi:

1. Fattorizza con le regole di scomposizione tutti i denominatori da cui è composta la frazione
2. Esegui la condizione di esistenza,
3. Eseguiamo il minimo comune multiplo e sviluppando i calcoli determiniamo la soluzione come spiegato nella lezione delle equazioni di secondo grado intere.
4. Si verifica se la soluzione trovata soddisfa le condizioni di esistenza. 

Buono studio!