Calcolo del valore medio, errore assoluto, errore relativo ed errore percentuale. Valore vero. Stima della serie di misure. Deviazione standard

Quando si deve valutare una misura di una grandezza fisica come bisogna procedere? Come si scrive la misura di una grandezza fisica? In questa lezione interessiamoci al calcolo del valore medio, valutazione dell’incertezza, calcolo dell’errore assoluto ed errore relativo. Ti ricordo comunque che in questo capitolo “misure ed errori” troverai anche paragrafi dedicati agli strumenti di misura, agli errori di misura nelle misure indirette, allo scarto quadratico medio anche detta deviazione standard ed alle cifre significative Prima di riepilogare in questa descrizione i vari argomenti che tratteremo nella lezione, ti mostro sinteticamente cosa contiene questo PACCHETTO 1) due LEZIONI DI TEORIA sull’argomento trattato 2) un PDF TEORIA scritto da me seguendo le lezioni fatte (potrai utilizzare questo PDF per prendere i tuoi appunti ed integrare ulteriori tue riflessioni) 3) un PDF ESERCIZI svolti e commentati. Se sei un abbonato (attenzione perché gli abbonamenti partono da febbraio 2022) allora potrai seguire la LIVE esclusiva in cui risolverò e commenterò gli esercizi di questo PDF 4) un TEST DI VERIFICA che svolgerai quando avrai completato lo studio di teoria di esercizi e ti servirà per fissare ulteriormente i concetti che hai studiato in modo da essere preparato per le interrogazioni, i compiti in classe, i test che dovrai affrontare. Ora passiamo ad un riepilogo scritto di tutto quello che vedremo relativamente a questo argomento

misurare una grandezza fisica

Cosa significa misurare una grandezza fisica? Significa utilizzare uno strumento di misura, valutare quante volte si ripete il passo unitario dello strumento di misura, per poi scrivere correttamente il suo valore. Ma per fare questo bisogna considerare che ogni volta che si effettua una misura si commettono degli errori e quindi il valore finale della misura deve comprendere e mostrare questa incertezza che deve comunque essere messa in conto. Dunque come bisogna procedere? Vediamo passo dopo passo cosa fare, i calcoli da effettuare e come scrivere il valore vero. Innanzitutto dedichiamoci però a comprendere quali sono gli errori che entrano in gioco quando si effettua una misura

errori casuali ed errori sistematici

Nell’effettuare una misura ci sono due cose da tenere in conto: la persona che effettivamente sta facendo la misura e lo strumento di misura. Sia la persona che lo strumento ripercuoteranno un errore nella misura stessa, ecco perché si parla di errore casuale ed errore sistematico. Ma qual è la differenza tra i due errori?

errore casuale

L’errore casuale e quell’errore compiuto da chi effettua la misura. Dunque è un errore variabile che cambia da misura a misura, può essere grande oppure piccolo, può dipendere dalla distrazione della persona stessa oppure dal fatto che chi sta effettuando la misura guarda scorrettamente lo strumento magari da un angolo invece che guardarlo di fronte (infatti si parla in questo caso di errore di parallasse)

errore sistematico

L’errore sistematico è invece legato allo strumento di misura. Se lo strumento di misura ha subito variazioni (per esempio si è dilatato al sole) automaticamente ci restituirà in ogni misura un valore in cui c’è un errore del quale bisogna tener conto. Questo tipo di errore si ripete sempre uguale ecco perché viene detto sistematico.

errore come incertezza

Dunque complessivamente l’unione di questi due tipi di errori ci dà un’incertezza sulla misura della quale dobbiamo tenere conto. Infatti ora possiamo dedicarci a capire come va scritto il valore vero di una misura.

scrittura del valore vero

Dunque il valore vero di una misura viene scritto come valore medio della stessa misura al quale viene sommata e sottratta l’incertezza. 'V=Vm\pm \Delta V' Ma come si calcolano il valore medio e l’incertezza? Vediamolo!

calcolo del valore medio

Dopo aver misurato tante volte la nostra grandezza fisica siamo pronti a calcolare il valore medio: questo banalmente si calcola sommando tutte le misure e dividendo per il numero di misure 'Vm=\left ( V1+V2+...+Vn \right )/n'

valutazione dell’incertezza

L’incertezza invece deve essere valutata dal confronto della sensibilità dello strumento e dell’errore assoluto, anche detto semidispersione. Il più grande tra i due rappresenterà l’incertezza! Dunque procediamo adesso a capire come calcolare l’errore assoluto

calcolo dell’errore assoluto

L’errore assoluto, anche detto semidispersione, viene calcolato sottraendo alla misura massima la misura minima e dividendo per due '\varepsilon a=\left ( Vmax-Vmin \right )/2'

stima della serie di misure

Un’altra cosa interessante che si può fare con la serie di misure e valutare la bontà delle misure stesse. Per fare questo bisogna calcolare altri due tipi di errori: l’errore relativo e l’errore relativo percentuale. Quest’ultimo ci darà il polso della situazione facendoci capire se la serie di misure è buona oppure se bisogna rifiutarla perché affetta da troppo errore

calcolo dell’errore relativo

L’errore relativo viene calcolato come rapporto tra l’errore assoluto ed il valore medio '\varepsilon r=\varepsilon a/Vm'

calcolo dell’errore relativo percentuale

L’errore relativo percentuale viene calcolato come prodotto tra l’errore relativo moltiplicato cento

stima delle misure

Dunque si può procedere a questo punto alla stima delle misure: si guarderà così al valore dell’errore relativo percentuale. Se l’errore percentuale è minore dell’1% allora la serie di misure è ottima; se l’errore percentuale è compreso tra 1 e 2% allora la serie di misure può essere ritenuta buona; se l’errore percentuale è compreso tra il 2 e il 5% allora la serie di misure sarà accettabile. Mentre infine se l’errore percentuale è maggiore del 5% allora dovremo rifiutare la serie di misure magari rifacendo tutto da capo perché c’è troppo errore da poter accettare quei dati.

popolazione di dati

Se poi siamo di fronte ad un numero molto grande di dati possiamo rappresentare questi dati in un piano cartesiano dove mettiamo in ordinate la frequenza e in ascisse il valore di questi dati. Vedremo che questi si distribuiranno molto spesso come un grafico a campana anche detto distribuzione normale. Per valutare come questi dati si distribuiscono a sinistra e a destra del valore medio (che rappresenta il picco della campana) bisogna introdurre un concetto matematico che viene chiamato deviazione standard, anche detto scarto quadratico medio, che per essere calcolato passa attraverso una serie di operazioni.

definizione di deviazione standard

la deviazione standard è uguale alla radice quadrata della varianza '\sigma=\sqrt{v}' Dunque per calcolare la deviazione standard bisogna innanzitutto calcolare la varianza. Ma come si calcola la varianza?

calcolo della varianza

per calcolare la varianza abbiamo bisogno del valore medio, dei dati e siamo pronti per calcolarla. Infatti la varianza rappresenta la sommatoria delle differenze quadratiche tra il valore medio e i vari valor singoli, i il tutto diviso per il numero di misure effettuate, o per il numero di dati che si hanno a disposizione 'v=(\sum (xi-xn)2)/n'

valutazione della distribuzione dei dati

La serie di dati o misure può essere a questo punto valutata. Si dirà che il 68% dei dati si distribuirà in un intorno del valore medio di una deviazione standard mentre il 95% dei dati si distribuirà in un intorno del valore medio di due deviazioni standard