Regole di derivazione – quali sono e come applicare le regole di derivazione per calcolare la derivata prima di una funzione

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Ciao ragazzi e benvenuti al paragrafo dedicato alle regole di derivazione! Attraverso queste lezioni imparerete cosa sono e come si applicano le regole di derivazione per calcolare la derivata prima di una funzione!

Prima di riepilogare in questa descrizione i vari argomenti che tratteremo nella lezione, ti mostro sinteticamente cosa contiene questo PACCHETTO

1) una LEZIONE DI TEORIA sull’argomento trattato

2) un PDF TEORIA scritto da me seguendo fedelmente la lezione fatta (potrai utilizzare questo PDF per prendere i tuoi appunti ed integrare ulteriori tue riflessioni)

3) un PDF ESERCIZI svolti e commentati. Se sei un abbonato allora potrai seguire la LIVE esclusiva in cui risolverò e commenterò gli esercizi di questo PDF (leggi data ed ora della LIVE in bacheca nel corso oppure andando direttamente nella sezione streaming)

4) un TEST DI VERIFICA che svolgerai quando avrai completato lo studio di teoria di esercizi e ti servirà per fissare ulteriormente i concetti che hai studiato in modo da essere preparato per le interrogazioni, i compiti in classe, i test che dovrai affrontare.

Ora passiamo ad un riepilogo scritto di tutto quello che vedremo relativamente a questo argomento.

 

Regole di derivazione delle funzioni

In questo paragrafo vediamo le regole di derivazione, ovvero le formule che permettono di calcolare la derivata prima di una funzione. Il prerequisito fondamentale per affrontare il paragrafo è conoscere la definizione di derivata e del limite del rapporto incrementale. Infatti la derivata prima di una funzione calcolata in un punto x_0 è il coefficiente angolare m della retta tangente alla funzione f(x) in quel punto, quindi f'(x_0)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=m Ora il calcolo del limite del rapporto incrementale non si usa però per calcolare la derivata prima di una funzione in quanto diventerebbe troppo dispendioso, si utilizzano quindi le regole di derivazione. Data y=f(x) funzione reale di variabile x reale, indichiamo la derivata prima di f(x) come y', f'(x), D[f(x)], \frac{df(x)}{dx} queste notazioni sono equivalenti. Indichiamo di seguito le regole di derivazione delle funzioni, infatti ad ogni funzione f(x) corrisponde la sua derivata f'(x).

Derivata di una costante

D[k]=0, k\in \mathbb{R}, k \ costante \\

Derivata della funzione polinomiale

D[x]=1 \\

D[x^{\alpha}]=\alpha x^{\alpha -1 }, \alpha \in \mathbb{R}\\

D[kx]=kD[x]=k \\

D[kx^{\alpha}]=k\cdot \alpha x^{\alpha -1} \\

Derivata della funzione irrazionale

D[f(x)^{\alpha}]=\alpha f(x)^{\alpha-1}\cdot f'(x) , \alpha \in \mathbb{R}\\

D[\sqrt{x}] = \frac{1}{2\sqrt{x}} \\

D[\sqrt{f(x)}]=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}} \\

Derivata del valore assoluto di una funzione

D[|x|]=sgn(x) \\

D[|f(x)|]=f'(x) sgn(f(x)) \\

Derivata delle funzioni goniometriche

D[\sin x]= \cos x \\

D[\sin f(x)]= f'(x)\cdot \cos f(x) \\

D[\cos x]=-\sin x \\

D[\cos f(x)]=- f'(x)\cdot \sin f(x) \\

D[\tan x]= \frac{1}{\cos^2 x} \\

D[\tan f(x)]=\frac{f'(x)}{\cos^2 f(x)} \\

D[\cot x]= - \frac{1}{\sin^2 x} \\

D[\cot f(x)]=- \frac{f'(x)}{\sin^2 f(x)} \\

D[\arcsin x]=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\

D[\arcsin f(x)]=\frac{f'(x)}{\sqrt{1-f(x)^2}} \\

D[\arccos x]=- \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\

D[\arccos f(x)]= -\frac{f'(x)}{\sqrt{1-f(x)^2}} \\

D[\arctan x]=\frac{1}{1+x^2} \\

D[\arctan f(x)]=\frac{f'(x)}{1+f(x)^2} \\

D[arccot x]= - \frac{1}{1+x^2} \\

D[arccot f(x)]= -\frac{f'(x)}{1+f(x)^2} \\

Derivata della funzione esponenziale

D[e^x]=e^x \\

D[e^{f(x)}]=f'(x)\cdot e^{f(x)} \\

D[a^x]=a^x \cdot \ln a \\

D[a^{f(x)}]=f'(x)a^x \ln a \\

Derivata della funzione logaritmo

D[\ln x]=\frac{1}{x} \\

D[\ln f(x)]=\frac{f'(x)}{f(x)} \\

D[\log_a x]= \frac{1}{x} \log_a e \\

D[\log_a f(x)]= \frac{f'(x)}{f(x)} \log_a e \\

 

Operazioni con le derivate

Derivata din una funzione per una costante reale

D[k\cdot f(x)]=k \cdot f'(x) \\

Derivata della somma

D[f(x)\pm g(x)]=f'(x)\pm g'(x) \\

Derivata del prodotto

D[f(x)\cdot g(x)]= f'(x)\cdot g(x) + f(x)\cdot g'(x) \\

Derivata del rapporto

D[\frac{f(x)}{g(x)}]=\frac{f'(x)\cdot g(x) - f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2} \\

Derivata della funzione composta

D[f\big(g(x)\big)]=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x) \\

Derivata della potenza

D[f(x)^{g(x)}]=f(x)^{g(x)}\big[ g'(x) \cdot \ln f(x) + \frac{g(x)\cdot f'(x)}{f(x)}\big]

Buon lavoro!

prof. Barbara

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