ciao ragazzi e benvenuti al paragrafo dedicato alla probabilità condizionata! Prima di affrontare l’argomento però leggete la descrizione di seguito perchè saranno i prerequisiti necessari per capire la differenza tra eventi dipendenti ed indipendenti!

Unione logica

Per calcolare la probabilità di due eventi A e B è importantissimo distinguere logicamente tra unione ed intersezione di eventi. Infatti per capire quale formula utilizzare bisogna saper fare questa distinzione interpretando correttamente il testo del problema. Il teorema della probabilità totale di dice che calcolare la probabilità dell’unione di due eventi, significa calcolare la probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi quindi che si verifichi o l’evento A oppure l’evento B, quindi l’unione logica è legata alla congiunzione italiana “o, oppure”.  Per procedere al calcolo però dobbiamo distinguere due casi, ovvero distinguere se A e B sono eventi disgiunti (o incompatibili ) oppure compatibili.

Eventi disgiunti (o incompatibili)

A e B si dicono eventi disgiunti o incompatibili se questi non hanno intersezione, ovvero non c’è nessuna intersezione tra i possibili esiti dell’evento A e i possibili esiti dell’evento B, A \cap B = \emptyset .  Dagli assiomi della probabilità sappiamo che la probabilità dell’unione di eventi disgiunti è data dalla somma delle probabilità degli eventi, quindi P(A \cup B)=P(A)+P(B)

Eventi compatibili

A.e B si dicono eventi compatibili se hanno intersezione, ovvero se esiste almeno un elemento comune tra i possibili esiti dell’evento A e i possibili esiti dell’evento B. In questo caso la probabilità dell’unione dei due eventi è data: P(A \cup B)= P(A)+P(B)-P(A \cap B).

Intersezione logica di eventi

Un concetto fondamentale per calcolare la probabilità di un evento è quello intersezione logica di eventi o prodotto logico di eventi, che permette di stabilire con quale probabilità due eventi A e B si vengano a verificare contemporaneamente, quindi che si vengano a verificare entrambe le condizioni per un certo esperimento che stiamo conducendo. Quindi l’intersezione logica è legata alla congiunzione italiana “e” perchè deve valere A e B. Per procedere al calcolo della probabilità dell’intersezione cioè P(A \cap B), dobbiamo distinguere tra eventi indipendenti o dipendenti, questa sarà la chiave per la risoluzione dei problemi.

Eventi indipendenti

Il concetto di indipendenza di eventi è alla base del calcolo delle probabilità, saperli individuare è fondamentale per entrare nella logica del calcolo delle probabilità ed individuare subito la strada risolutiva. A e B sono detti eventi  indipendenti se il verificarsi di uno dei due non incide sull’esito dell’altro evento. Un esempio tipico per capire l’indipendenza tra eventi è il lancio ripetuto di una moneta o di un dado, oppure le estrazioni con rimpiazzo. Infatti se lanciamo un dado una volta, al secondo lancio lo spazio degli esiti possibili saranno tutte e sei le facce indipendentemente dal risultato ottenuto al primo lancio! Quindi l’informazione parziale che possiamo avere non influenza in alcun modo la probabilità dell’evento successivo. Nel caso di eventi indipendenti quindi la probabilità della loro intersezione, ovvero che si verifichino entrambi, è data dal prodotto delle singole probabilità: P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B).

Eventi dipendenti

A e B sono detti eventi dipendenti se il verificarsi di uno incide sul risultato dell’altro evento, quindi nel caso di eventi dipendenti l’informazione parziale che abbiamo quindi un evento che già si è verificato modifica la probabilità che si verifichi l’evento successivo. Giochi tipici legati ad eventi dipendenti sono le estrazioni senza rimpiazzo, il gioco televisivo dei pacchi è un esempio di questo oppure un’ estrazione dei sei numeri al superenalotto. Nel caso di eventi dipendenti per poter calcolare la probabilità che si verifichino entrambi gli eventi dobbiamo ricorrere all’uso della probabilità condizionata: P(A \cap B)=P(A|B)\cdot P(B) ovvero la probabilità che si verifichi l’evento A e B è uguale alla probabilità che si verifichi l’evento A sapendo che si è già verificato B per la probabilità che si verifichi B. Vediamo nel dettaglio cosa è la probabilità condizionata.

Probabilità condizionata

La probabilità condizionata ci permette di determinare la probabilità che si osservare l’evento A sapendo che si è già verificato un altro evento B, lo indichiamo con P(A|B). La probabilità condizionata si usa nel caso di eventi dipendenti, quindi nel caso in cui ci viene fornita un’informazione parziale B sull’esperimento e questa ne influenza il risultato, ovvero incide sulla probabilità che si verifichi l’evento A.
La formula della probabilità condizionata per eventi dipendenti è quindi la seguente: P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}, con P(B \neq 0). Esempi tipici legati al calcolo delle probabilità con l’uso della probabilità condizionata sono giochi di carte come ad esempio il poker.

Nel caso in cui un evento A sia stato causato però da più fattori avremo bisogno del teore di Bayes, ma questo lo vedremo in un altro paragrafo ad esso dedicato!

buon lavoro!