Funzioni continue e punti di discontinuità di una funzione, spiegazione ed esempi di funzioni continue e funzioni discontinue
Benvenuti nel paragrafo sulle funzioni continue e punti di discontinuità di una funzione!
Le funzioni continue rappresentano uno degli argomenti più profondi di analisi matematica, molto richiesta alla maturità, quindi soffermatevi sul paragrafo facendo molta attenzione alla definizione di funzione continua e funzione discontinua e come questa verrà utilizzata negli esercizi.
Funzioni continue
Una funzione y=f(x) si dice continua in un punto x_0 se i limiti della funzione calcolata nel puntox_0 da destra e da sinistra assumono lo stesso valore finito l, e tale limite è uguale al valore assunto dalla funzione calcolata nel punto f(x_0), dunque:
l=lim_{x \to x_0^+}f(x_0)=lim_{x \to x_0^-}f(x_0)=f(x_0)Una funzione f(x) si dice funzione continua se è continua in ogni punto del suo dominio. A livello grafico è molto intuitivo capire se f(x) una è una funzione continua oppure no, infatti se il suo grafico non presenta interruzioni in nessun punto, diremo che f(x) è una funzione continua. Vedremo della lezione quindi come capire se una funzione è continua o no e soprattutto come individuare i punti x_0 nei quali studiarne la continuità.
Punti di discontinuità
I punti di discontinuità di una funzione, sono i punti in cui la funzione f(x) non è continua. I punti di discontinuità si classificano in:
discontinuità di prima specie:
Si dice che f(x) ha una discontinuità di prima specie o di tipo salto nel punto x_0 se esistono finiti i limiti da destra e da sinistra della funzione ma assumono valori differenti:
l_1=lim_{x \to x_0^+}f(x_0)\neq lim_{x \to x_0^-}f(x_0)=l_2discontinuità di seconda specie:
Si dice che f(x) ha una discontinuità di seconda specie nel punto x_0 se almeno uno dei limiti da destra e da sinistra della funzione è infinito o non esiste:
lim_{x \to x_0^{\pm}}f(x_0)=\infty oppure
lim_{x \to x_0^{\pm}}f(x_0)= \nexistsdiscontinuità di terza specie:
Si dice che f(x) ha una discontinuità di terza specie o di tipo eliminabile nel punto x_0 se esistono finiti i limiti da destra e da sinistra della funzione e sono uguali, ma la funzione in x_0 non assume lo stesso valore dei limiti, oppure f(x) non è definita nel punto:
lim_{x \to x_0^+}f(x_0)=lim_{x \to x_0^-}f(x_0)\neq f(x_0) oppure
lim_{x \to x_0^+}f(x_0)=lim_{x \to x_0^-}f(x_0) ma f(x_0)\nexists.
Buono studio!
Questa sezione al momento non è attiva
Paragrafi correlati
