Distribuzione di Bernoulli: variabile aleatoria di Bernoulli, distribuzione di probabilità, media e varianza

Benvenuti nel paragrafo sulla distribuzione di Bernoulli,  questa è una distribuzione discreta e in questa lezione vedremo la definizione di variabile aleatoria di Bernoulli, la distribuzione di probabilità, la media e la varianza. Prima di cominciare diamo qualche importante definizione.

Distribuzione di probabilità

Data una variabile aleatoria (v.a.) discreta X, la distribuzione di probabilità f(x) è la funzione che associa ad ogni valore x di X la probabilità che questo valore venga assunto dalla variabile aleatoria cioè f(x)=P(X=x). 

La funzione di ripartizione di una variabile aleatoria X che indichiamo con F(x), indica la probabilità che X assuma tutti i valori minori o uguali ad x, quindi F(x)=P(X ≤ x). 

Conoscere quindi un evento a quale variabile aleatoria è collegato, ci permette di rispondere a tutte le domande di probabilità che facciamo su quell’evento grazie alla funzione di ripartizione. In probabilità il passaggio più complicato è proprio individuare la variabile aleatoria che descrive un certo evento, la prima cosa quindi è comprendere che ogni variabile aleatoria risponde ad una certa domanda, pertanto dal testo del problema individuiamo la richiesta e cerchiamo di capire quale v.a. fornisce quella risposta. A questo punto utilizzeremo la funzione di ripartizione della v.a. per rispondere al quesito di probabilità. Inoltre se conosciamo la v.a. che descrive un certo evento, vuol dire che sono note anche la media o valore atteso, la varianza e lo scarto quadratico medio. 

Distribuzione di Bernoulli 

Diciamo che una variabile aleatoria è distribuita come una Bernoulli di parametro p se questa classifica un singolo evento come successo o insuccesso, dove la probabilità di successo è p e quella di insuccesso 1-p. La variabile aleatoria di Bernoulli quindi può assumere solo due possibili valori che sono 0 ed 1 associati rispettivamente agli eventi di insuccesso e successo:

P(X=0)=p 

P(X=1)=1-p

La media o valore atteso di una variabile aleatoria di Bernoulli è data dalla probabilità di successo p:

E(X)=p

La varianza di una variabile aleatoria di Bernoulli è data dal prodotto tra la probabilità di successo p e quella di insuccesso 1-p:

Var[X]=1-p

Riassumendo possiamo dire che un qualsiasi evento che assume solo due possibili esisti che possiamo associare a successo e insuccesso, è possibile descriverlo attraverso una distribuzione di Bernoulli. Ad esempio il lancio di una moneta, una passeggiata random sulla retta discreta dove decidiamo random di andare o a destra o a sinistra oppure la costruzione di grafi random. 

Buono studio!