Distribuzione Binomiale: variabile aleatoria Binomiale, distribuzione di probabilità, media e varianza

Benvenuti nel paragrafo sulla distribuzione Binomiale! Questa è una distribuzione discreta ma prima di vedere la definizione di variabile aleatoria Binomiale, le le sue proprietà come la distribuzione di probabilità, la media e la varianza, diamo qualche importante definizione.

Distribuzione di probabilità

Data una variabile aleatoria (v.a.) discreta X, la distribuzione di probabilità f(x) è la funzione che associa ad ogni valore x di X la probabilità che questo valore venga assunto dalla variabile aleatoria cioè f(x)=P(X=x). 

La funzione di ripartizione di una variabile aleatoria X che indichiamo con F(x), indica la probabilità che X assuma tutti i valori minori o uguali ad x, quindi F(x)=P(X ≤ x). 

Conoscere quindi un evento a quale variabile aleatoria è collegato, ci permette di rispondere a tutte le domande di probabilità che facciamo su quell’evento grazie alla funzione di ripartizione. In probabilità il passaggio più complicato è proprio individuare la variabile aleatoria che descrive un certo evento, la prima cosa quindi è comprendere che ogni variabile aleatoria risponde ad una certa domanda, pertanto dal testo del problema individuiamo la richiesta e cerchiamo di capire quale v.a. fornisce quella risposta. A questo punto utilizzeremo la funzione di ripartizione della v.a. per rispondere al quesito di probabilità. Inoltre se conosciamo la v.a. che descrive un certo evento, vuol dire che sono note anche la media o valore atteso, la varianza e lo scarto quadratico medio. 

Distribuzione Binomiale

Una variabile aleatoria X si dice distribuita come una Binomiale di parametri (n,p) se questa conta il numero totale di successi ottenuti che indichiamo con k, in n prove indipendenti, dove p è la probabilità di successo del singolo esperimento. Un esempio facile per comprendere la variabile aleatoria binomiale è quello di lanciare n volte una moneta e di contare alla fine di tutti i lanci il numero di teste (o di croci) ottenute, dove il numero di teste equivale per noi al numero dei successi ottenuti ognuno con probabilità p. 

La distribuzione di probabilitàdi una variabile aletoria binomiale è:

questa indica quindi la probabilità di aver ottenuto esattamente k successi in n prove indipendenti.

La media o valore atteso di una variabile aletoria binomiale è E(X)=np.

La varianza di una variabile aletoria binomiale è Var(X)=np(1-p).

Buono studio!