Funzione esponenziale: dominio, codominio e grafico

Benvenuti in questo paragrafo sulla funzione esponenziale, parleremo del suo dominio, codominio e grafico sul piano cartesiano.

Funzione esponenziale

Si definisce funzione esponenziale, una funzione del tipo f(x)=a^x, dove a è la base e l’incognita x compare ad esponente, ed ha le seguenti proprietà: 

1) La funzione esponenziale ha come dominio tutto \mathbb{R} ed è una funzione biunivoca (o biettiva), infatti per qualsiasi valore arbitrario assegnato alla variabile indipendente x, esiste un solo valore associato alla variabile dipendente y. 

2) La funzione esponenziale ha come codominio tutto \mathbb{R}^+, cioè  la sua Immagine è (0; + \infty).

3) La funzione esponenziale con base a>0 è strettamente crescente nel suo dominio, mentre la funzione esponenziale con base 0<a<1 è strettamente decresente nel suo dominio.

4) La funzione esponenziale è continua e derivabile in tutto \mathbb{R}. 

5) La funzione esponenziale ha l’asse delle x come asintoto orizzontale, lo segue a sinistra se la funzione è crescente cioè con a>0 si ha \lim_{x \to -\infty} a^x=0^+ . Se la funzione è decrescente, cioè0<a<1 si ha \lim_{x \to +\infty} a^x=0^+ . 

Nel caso in cui la base a è il numero di Nepero e, la funzione esponenziale f(x)=e^x è crescente, infatti ricordiamo che e è un numero irrazionale e trascendente (come anche  \pi) il cui valore è 2,71828… a cui seguono infinite cifre decimali non periodiche. 

Conoscere queste proprietà della funzione esponenziale è fondamentale per lo studio delle equazioni e disequazioni esponenziali, dei limiti, derivate, studio di funzione, integrali e serie.

Buono studio!