Limiti di forme indeterminate e Polinomi di Taylor. Come utilizzare i polinomi di Taylor per calcolare limiti

Benvenuti in questo paragrafo completamente dedicato al Polinomio di Taylor ed il loro utilizzo nel caloclo di limiti di forme indeterminate che può essere visto come uno dei concetti cardine alla base dell’Analisi matematica 1.

Si tratta di una lezione che fa parte del corso di Analisi Matematica 1 dedicato a tutti gli studenti che devono affrontare questa materia al primo anno delle principali facoltà dell’ambito STEM. All’interno di questo percorso avremo modo di introdurre l’Analisi Matematica, senza tralasciarne gli aspetti più profondi nel tentativo di fornire gli strumenti utili a risolvere gli esercizi con diversi livelli di difficoltà.

Dopo aver ripassato insieme alcuni degli strumenti di algebra necessari a raggiungere la piena consapevolezza della materia, in questo corso vengono proposti contenuti che sono stati integrati nel libro di testo, Lezioni di Analisi Matematica, del prof. Daniele Ritelli (UNIBO) edito dalla Società Editrice Esculapio. Sono stati prodotti, con grande cura e dovizia di particolari, più di settanta video a supporto del manuale. In questo modo si è cercato di dare risposta alla continua, incessante e, sopratutto, insaziabile, richiesta di esempi operativi per lo svolgimento di esercizi da parte degli studenti; inoltre le tecniche risolutive sono illustrate con un livello di dettaglio che, per ragioni di tempo, raramente viene fornito a livello universitario, dove era tradizione scaricare sullo studente il tempo e le sofferenze necessarie all’apprendimento dell’arte di risolvere problemi.

Vediamo insieme di cosa parleremo in questo paragrafo e…buono studio 😉

Polinomi di Taylor e resto 

Come anticipato precedentemente, il polinomio di Taylor ha un contatto di ordine n con la funzione nel punto x_{0}. Al fine, dunque, di stabilire come il Polinomio di ordine n approssimi la funzione occorre analizzare come si comporta il resto di ordine n, in quanto: f(x)=P_{n}+ R_{n}   per  x\rightarrow x_{0} Il resto del polinomio di Taylor rappresenta dunque, in un certo senso, l’approssimazione che si ottiene nel rappresentare una funzione f(x) con il suo polinomio di Taylor di ordine n per x\rightarrow x_{0}

Polinomi di Taylor: resto secondo Peano 

Il resto   R_{n} del polinomio può essere valutato asintoticamente in quanto:

Teorema (Peano): Sia f(x) una funzione continua e n volte derivabile in un intorno di x_{0} . Allora:   \lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{R_{n}(f(x))}{(x-x_{0})^{n}}=0

Di conseguenza, il resto   R_{n} di ordine n può essere visto, utilizzando i simboli di Bachmann-Landau come un o-piccolo   R_{n}=o(x-x_{0})^{n} e dunque affermando che è trascurabile rispetto a   (x-x_{0})^{n} .

In questi termini, la funzione si può esprimere come:

f(x)=f(x_{0})+f^{I}(x_{0})(x-x_{0})+f^{II}(x_{0})\frac{(x-x_{0})^{2}}{2!}+.....+f^{(n)}(x_{0})\frac{(x-x_{0})^{n}}{n!}+ o(x-x_{0})^{n} per x\rightarrow x_{0}

La rappresentazione della funzione f(x) , continua e n volte derivabile in x_{0} attraverso il polinomio di Taylor con resto di Peano risulta essere particolarmente utile nel calcolo di limiti di forme indeterminate.

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limiti e polinomi di Taylor
40 minuti

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iscritti: 17 studenti
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livello: università