Integrali impropri: integrali impropri su intervalli limitati ed integrali impropri su intervalli illimitati

Ciao ragazzi! Benvenuti al paragrafo dedicato alla risoluzione degli integrali impropri su intervalli limitati ed illimitati.

Prima di riepilogare in questa descrizione i vari argomenti che tratteremo nella lezione, ti mostro sinteticamente cosa contiene questo PACCHETTO

1) 2 LEZIONI DI TEORIA sull’argomento trattato

2) un PDF TEORIA scritto da me seguendo fedelmente la lezione fatta (potrai utilizzare questo PDF per prendere i tuoi appunti ed integrare ulteriori tue riflessioni).

3) un PDF ESERCIZI svolti e commentati.

4) una MAPPA PDF utile per ripassare prima della verifica o interrogazione e per svolgere gli esercizi

5) un TEST DI VERIFICA che svolgerai quando avrai completato lo studio di teoria di esercizi e ti servirà per fissare ulteriormente i concetti che hai studiato in modo da essere preparato per le interrogazioni, i compiti in classe, i test che dovrai affrontare.

Integrali impropri su intervalli limitati

Una funzione reale f(x) di variabile reale, si dice improprio se l’integrale definito della funzione \int_a^b f(x) dx è tale che:

1) f(x) è continua in [a, b), f(x) non definita in b, quindi in b presenta un asintoto verticale. In questo caso la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio se \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x) dx converge, ovvero il risultato tende ad un valore finito. Altrimenti si dice che l’integrale diverge.

2) f(x) è continua in (a;b], f(x) non definita in a, quindi in a presenta un asintoto verticale. In questo caso la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio se \lim_{t \to a^+} \int_t^b f(x) dx converge, ovvero il risultato tende ad un valore finito. Altrimenti si dice che l’integrale diverge.

3) f(x) è discontinua in [a,b], f(x) è definita in a e b, ma esiste un punto c \in [a,b] dove f(c) è discontinua. In questo caso dobbiamo spezzare l’integrale ed f(x), ovvero scriviamo \int_a^b f(x) dx=\int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx, f(x) si dice integrabile in senso improprio se convergono entrambi gli integrali.

Integrali impropri su intervalli illimitati 

Un integrale definito è improprio quando la funzione integranda f(x) è integrata in [a;+\infty) oppure in (-\infty; a] ed f(x) è continua in tali intervalli. Distinguiamo i casi:

1) \int_a^{+\infty} f(x) dx

f(x) continua in (a;+\infty). Allora f(x) si dice integrabile in senso improprio se \lim_{t to +\infty} \int_a^t f(x) dx converge ad un valore finito. Altrimenti si dice che l’integrale diverge.

2) \int_{-\infty}^a f(x) dx

f(x) continua in (-\infty;a]. Allora f(x) si dice integrabile in senso improprio se \lim_{t to -\infty} \int_t^a f(x) dx converge ad un valore finito. Altrimenti si dice che l’integrale diverge.

3) \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx

f(x) non è continua in (-\infty;+\infty), ovvero esiste un punto c dove la funzione è discontinua,  allora f(x) si dice integrabile in senso improprio se spezzando l’integrale ovvero \int_{-\infty}^c f(x) dx + \int_c^{+\infty} f(x) dx convergono entrambi gli integrali.

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Buon lavoro, prof Barbara