Disequazioni trascendenti: cosa sono e come si risolvono le disequazioni trascendenti, il metodo grafico

Benvenuti al paragrafo sulle disequazioni trascendenti! Questo argomento è veramente importante, richiede la conoscenza delle funzioni ed il loro dominio e saper tracciare il loro grafico. 

Disequazioni trascendenti

Le disequazioni trascendenti sono disequazioni che non possono essere risolte algebricamente, perchè se ci provassimo non riusciremmo mai ad esplicitare l’incognita x, anche ricorrendo all’uso delle funzioni inverse. Quindi per risolvere le disequazioni trascendenti si utilizza il metodo grafico.

Ricordiamo che sono funzioni trascendenti le funzioni esponenziali, logaritmiche e goniometriche. 

Se dobbiamo risolvere una disequazione trascendente del tipo f(x)\geq g(x) oppure f(x)\leq g(x), quello che facciamo è considerare l’equazione associata quindi f(x)=g(x) e graficare sul piano cartesiano separatamente le funzioni \begin{cases}y=f(x) \\y=g(x) \end{cases} che mettiamo a sistema in quanto ci stiamo chiedendo se esiste un valore di x per il quale le funzioni abbiano lo stesso valore, dunque in altre parole se esiste un punto di intersezione che chiamiamo \alpha delle due funzioni. Le funzioni bisogna tracciarle correttamente in modo da avere una prima stima del valore \alpha. Esistono poi metodi iterativi, come il metodo di bisezione, per ottenere una stima sempre migliore del valore di \alpha.

Trovata l’intersezione tra le due funzioni (se esiste), tracciamo una retta verticale passante per il punto \alpha, in questo modo il piano cartesiano verrà diviso dalla retta in due semipiani. Risolvere la disequazione trascendente significa determinare l’intervallo delle x che soddisfa la disequazione, per farlo dobbiamo determinare il semipiano soluzione attraverso l’uso di un punto di prova. 

Per determinare il semipiano soluzione attraverso il punto di prova, basta scegliere arbitrariamente un punto P di coordinate cartesiane (x_p;y_p), poi sostituite le coordinate all’interno della disequazione iniziale, ci domandiamo se questa è verificata oppure no. 

Se la risposta è si, allora significa che tutti i punti del semipiano dal lato del punto di prova considerato saranno soluzione e quindi avremmo l’intervallo di x che soddisfa la disequazione, che dipenderà dal punto \alpha. 

Viceversa se la risposta è no, allora significa che tutti i punti del semipiano dal lato del punto di prova considerato non saranno soluzione e quindi la soluzione sarà il semipiano opposto e quindi avremmo determinato l’intervallo di x che soddisfa la disequazione, che dipenderà dal punto \alpha. 

Osserviamo infine che nel caso in cui le funzioni abbiano più punti di intersezione, allora significherà che il piano viene diviso in più semipiani, che saranno soluzione oppure no e questo lo stabiliamo sempre attraverso il punto di prova, infine scriveremo l’intervallo soluzione in x.

Buono studio!